Универсальные формулы расчета теплообмена

0
1279

Метод —NTU применяется для расчета мощности теплообменных блоков кондиционеров, тепловых завес, тепловентиляторов, рекуператоров и другого оборудования. В статье [1] было показано, как понятие симметричной эффективности теплообмена позволяет извлекать из формул -NTU-метода дополнительную информацию. Были даны критерии для проверки этих формул и расширения их области действия. В настоящей статье покажем, как симметричная эффективность позволяет найти новые, неизвестные ранее приближения -NTU-метода. В следующем пункте кратко напомним его основные соотношения.

1. Основные соотношения -NTU-метода

Мощность q [Вт] обмена теплом через непроницаемый теплообменник двух сред 1 и 2 можно выразить:

(1.1)

(1.2)

[Вт/К] — так называемые тепловые эквиваленты сред, которые определяются произведениями теплоемкостей c [Дж/(кг·К)] сред на их массовые расходы m[кг/с], а |T1| и |T2|[K] — взятые по модулю изменения каждой из температур сред 1 и 2 при теплообмене. Безразмерный коэффициент эффективности теплообмена  определяется как

(1.3)

где Сmin — это меньший из двух тепловых эквивалентов: Сmin = min{С1, С2}, а T[K] — абсолютное значение разности начальных температур двух сред, Т1 и Т2. Формула (1.3) позволяет выразить мощность теплообмена:

(1.4)

Для учета масштабирования теплообменных систем тепловые эквиваленты С1 и С2 в формулах для эффективности удобнее учитывать в виде относительных величин:

(1.5)

которые безразмерны (здесь A [м2] — так называемая средняя площадь теплообмена, а U [Вт/м2·К] — обобщенный коэффициент теплопроводности теплообменника) и не выделены жирным шрифтом. Кроме масштаба расходов A·U определяет для каждого теплообменника максимальную гипотетическую мощность теплообмена при очень больших расходах обеих сред: q A·U·T. Вместо С1, С2, Сmin и Cmax в -NTU-методе обычно используются обратное значение минимального относительного расхода, которое носит название NTU (number of transfer units)[3], и отношение Сmin к Cmax:

(1.7)

NTU (0 < NTU < ) и С* (0 < С* <= 1) определяют эффективность = (NTU, C*). Как следует из (1.4) и (1.5), (NTU, C*) при любых значениях расходов и значение A·U для каждого теплообменника определяют мощность q теплообмена. Смысл выражения для мощности (1.4) через эффективность  состоит в том, что поведение  имеет характерные черты для типичных схем теплообмена [3].

2. Эффективность  и симметричная эффективность s теплообмена

Эффективность  (1.3) выражает меру обмена температурами для двух участвующих в теплообмене сред. Коэффициент  несимметричен относительно значений двух тепловых эквивалентов, в его выражении фигурируют не С1 и С2, а Сmin и Сmax. Более того, любое рассмотрение, которое будет опираться на изменения температур при теплообмене, не может быть симметричным по С1 и С2. Физически это является следствием изначальной асимметрии поведения температур при теплообмене: среда с меньшим тепловым эквивалентом после теплообмена может принять начальную температуру другой среды (при -> 1), среда с большим тепловым эквивалентом — никогда (1.1–1.3). Это справедливо даже при теплообмене двух одинаковых сред для геометрически симметричных теплообменных блоков, что представляется некоторым неудобством -NTU-метода.

В [1, 2] мною было предложено рассматривать теплообмен как производство энтропии. Для произвольных изобарных процессов теплообмена двух сред с постоянными теплоемкостями отношение изменения полной энтропии S[Дж/К] сред к переданной при этом от одной среды к другой энергии E[Дж] всегда неотрицательно и не превосходит величины |Т1 — Т2|/(Т1·Т2) [1, 2]. По аналогии с коэффициентом , который можно назвать температурной эффективностью, можно ввести коэффициент эффективности s, связанный с изменением относительной энтропии системы. Естественно сделать это следующим образом: при «наилучших» условиях теплообмена, когда S/E = 0, следует считать s = 1. А при условиях, когда относительная энтропия увеличивается на максимально возможную величину |Т1 — Т2|/(Т1·Т2), следует считать s = 0. При промежуточных значениях S/E коэффициент s должен принимать пропорциональные промежуточные значения. Такая постановка задачи привела автора к выражению s через стандартные величины -NTU-метода в следующем виде [1, 2]:

(2.1)

При таком определении коэффициента s он, так же как и , может принимать значения только в диапазоне от 0 до 1. Если в (2.1) подставить

определение (1.3), получим:

(2.2)

Выражение для s (в отличие от ) симметрично относительно двух значений расходов, что определило мое решение назвать новый коэффициент s симметричной эффективностью теплообмена. При расходах, которые обеспечивают равные тепловые эквиваленты двух сред (С*= 1), из (2.1) следует, что значения симметричной s и стандартной  эффективностей совпадают. Свойства симметрии s позволяют элементарными средствами производить проверку формул для  (в том числе опровергать их), расширять область применения известных формул (подробнее см. пункты 4 и 5 в [1]) и имеют множество других следствий. Покажем, как использовать s для получения формул -NTU-метода, которые могут оказаться полезными для практического использования.

3. Типичное поведение суммы q + s для любого теплообменника

В [1] был приведен типичный график симметричной эффективности s и мощности q (рис. 1) при фиксированных значениях T и меньшего из эквивалентов.

На горизонтальных осях графиков 1 и 2 приведены значения изменяющегося теплового эквивалента. Можно заметить, что в области правее заштрихованной линии сумма мощности и симметричной эффективности (кривая зеленого цвета на рис. 2) близка к постоянной величине. Для разных теплообменников это справедливо при значениях изменяющегося и фиксированного тепловых эквивалентов не менее 0,5:

(3.1)

Учитывая отсутствие размерности s, мощность в (3.1) нужно также трактовать как относительную. Для любого начального перепада температур сред T произведение A·U·T выражает максимальную мощность теплообмена, которая гипотетически могла быть реализована при стремлении обоих расходов к бесконечности. Относительная мощность (с индексом d — dimensionless, безразмерная)

(3.2)

для любого теплообменника является числом и ограничена в пределах 0 <= qd <= 1 (так же, как  и s), и корректная запись (3.1) будет иметь вид

(3.3)

Константа в (3.3) определяется значением фиксированного (меньшего) теплового эквивалента, она будет зависеть только от Сmin или, что то же, будет функцией NTU:

(3.4)

4. Универсальная формула теплообмена при высоких расходах

Преобразуем левую часть (3.4). Мощность теплообмена в общем случае можно представить в виде:

(4.1)

Это следует из (1.4) и (1.5), которое для минимального эквивалента примет вид Сmin = CminAU, и (1.6). Из (3.2) и (4.1) получим, что для произвольных теплообменников при любых расходах

(4.2)

Используя определения s (2.1) в терминах -NTU-метода, левую часть (3.4) можно представить:

(4.3)

а само уравнение (3.4) примет вид:

(4.4)

f(NTU) можно вычислить, найдя значение левой части (4.4) для любого фиксированного меньшего теплового эквивалента, устремив другой к бесконечности. Известно, что в этом случае для произвольного теплообменника эффективность теплообмена выражается [4. С. 125] формулой:

(4.5)

Подставляя в (4.4) бесконечный расход, что означает С* = 0, и учитывая (4.5), получим:

(4.6)

При больших расходах (4.6) допускает разложение по малому параметру NTU:

(4.7)

О большое в данном случае — это положительная функция, значительно меньшая NTU3. Из (4.7) следует, что при NTU <= 0,3 значение f отличается от 1 менее чем на 1% и быстро стремится к 1 при уменьшении NTU. Таким образом, при NTU <= 0,3 можно считать f 1 и упростить (4.4):

(4.8)

То есть сумма относительной мощности и симметричной эффективности в (3.3) приблизительно равна 1. Из (4.8) для эффективности теплопередачи получим искомое выражение:

(4.9)

Формула (4.9) универсальна для любых теплообменников при высоких расходах (NTU <= 0,3). Известно, что при значениях NTU -> 0 устройство теплообменника практически не оказывает влияния на его эффективность: из (1.4) и выражения мощности q A·U·T следует приближение первого порядка NTU. Известно более точное приближение [4. С. 126, п. 3]: «Фактически можно показать, что, когда NTU -> 0, эффективность для всех типов течений сводится к

. (4.10)

Эта формула дает результаты высокой точности при NTU <= 0,4». Сравним формулы (4.9) и (4.10). На рис. 3 представим зависимость эффективности от С* для значения NTU = 0,1, а на рис. 4 для NTU = 0,3 для обеих формул. В качестве двух эффективностей теплообмена, которые ограничивают снизу и сверху все реальные схемы теплообмена, примем параллельный теплообмен (6.1) и встречный теплообмен (6.2).

Графики демонстрируют, что формула (4.9) оказывается значительно точнее, чем (4.10).

5. Универсальная формула перекрестного теплообмена при расходах от высоких до умеренных

Формула (4.9) справедлива только для малых NTU посредством приближения в (4.4) f(NTU) = 1. Если использовать точное выражение для f (4.6), то для эффективности из (4.4) можно получить

(5.1)

По-видимому, ценой усложнения формулы можно поднять ее точность и использовать при NTU > 0,3. Как видно из рис. 3 и 4, два предельных случая, параллельный (6.1) и встречный (6.2) теплообмены представлены практически совпадающими кривыми (на рисунках это темно-синие и красные кривые соответственно). При NTU = 0,3 наибольшие различия в их эффективностях достигают около 2%, и все многообразие возможных теплообменов находится в узкой области. Но при NTU >= 1 их различие составляет более 15%, и общей формулы для всех типов теплообменов существовать не может. Если предположить, что (5.1) выражает эффективность для некоторых «средних» систем, то какие типы теплообменников будут рассчитываться по этой формуле? Как известно, все теплообмены можно условно разделить на преимущественно встречные, преимущественно параллельные или преимущественно перекрестные, когда встречные или параллельные компоненты течений не оказывают существенного влияния на теплообмен. Формула (5.1) представляет усредненное поведение, и можно ожидать, что она определяет перекрестный теплообмен, который имеет именно «средние» характеристики по отношению ко всем типам течений. Представим на рис. 5 сравнение (5.1) и различных возможностей перемешивания при поперечных течениях для средних расходов (NTU = 1), а на рис. 6 для умеренно малых расходов ((NTU = 2).

Рисунки демонстрируют, что (5.1) — надежное приближение для любых перекрестных теплообменников, не только для средних, но даже для малых расходов при NTU<=2. При более низких расходах различные типы перекрестных теплообменников сами по себе заметно различаются по эффективностям.

6. Обсуждение полученных результатов

Итак, были получены универсальные формулы теплообмена для больших расходов (4.9) и для преимущественно перекрестных теплообменов для больших, средних и умеренно малых расходов (5.1).

Формула (4.9). Как уже было указано выше, эффективность = (NTU, C*) для любого теплообменника для произвольных значений NTU и C* всегда ограничена снизу и сверху предельными значениями эффективностей параллельного и встречного теплообмена [4]: ^^ <= <= ^V, где

(6.1)

(6.2)

При С* = 1 выражение (6.2) следует понимать как предел С* -> 1. При больших расходах (малых NTU)  для любых теплообменников (п. 4) выражается одинаково, то есть (6.1) и (6.2) должны иметь одинаковое разложение по малому параметру NTU. Нетрудно проверить, что с точностью до слагаемых малости NTU2 эти разложения точности повторяют (4.10). Можно заключить, что (4.9), которое значительно точнее, имеет точность порядка не менее NTU3, и при этом (4.9) допускает обращение относительно NTU:

(6.3)

Наличие зависимости явного вида NTU упрощает решение практических задач по теплообмену. Приведем еще одно свойство, которое демонстрирует формула (4.9). Полученное из нее с помощью (2.1) выражение для s будет симметричным относительно перестановки двух индексов тепловых эквивалентов С1 и С2. Учитывая высокую точность этой формулы для любого теплообменника при расходах с NTU <= 0,3, можно сделать следующий вывод. Даже несимметричные относительно протекания двух различных сред теплообменники, например воздушные завесы или фэнкойлы, вообще не будут изменять своей мощности, если перестроить два расхода так, чтобы два тепловых эквивалента обменялись своими значениями.

Формула (5.1) определяет некоторое усредненное значение  для перекрестных теплообменников. Возможно ли при ее поиске не проводить рассуждения, приведенные в п. 3, 4 и 5, а выбрать некоторую «среднюю» формулу для эффективности из известных для перекрестных течений? Приведем формулы предельных случаев перекрестных течений [3, 4]: потоки перемешиваются по своим поперечным сечениям (6.4), не перемешиваются (6.5), перемешивается только один с большим из двух тепловым эквивалентом (6.6) или только один с меньшим (6.7). Существуют и более сложные формулы, когда одна из неперемешивающихся сред совершает не один, а несколько проходов через теплообменник, однако ограничимся рассмотрением указанных:

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

В [1] я показал, что (6.4) некорректна. Строго говоря, (6.5) также не является точной, по крайней мере для малых расходов. Действительно, при С* = 1 рассчитаем по (6.5)  для значений NTU3 и 10: (3) 0,565, (10) 0,526. При уменьшении расходов обеих сред более чем в 3 раза эффективность теплообмена уменьшается, а должна увеличиться, ведь «число единиц переноса» NTU растет. Действительно, при любом фиксированном С* для всех приведенных в статье формул теплообмена, за исключением (6.5),  всегда возрастает при увеличении NTU. Что касается (6.6) и (6.7), то, как было мною показано в [1], это два разных выражения одной и той же формулы, которая приведена в [1]. Итак, вместо четырех основных формул имеем лишь одну, усомниться в надежности которой нет прямых оснований, и задача приближения нескольких близких формул к одной из них теряет смысл. Любопытно, что формула (5.1) выведена из принципа дополнительности мощности и симметричной эффективности посредством простейших преобразований и естественной закономерности (4.5). Разложение по малому параметру NTU одной из вышеприведенных формул для получения (5.1) также невозможно: (5.1) уверенно работает до NTU <= 2, когда NTU уже не является малым.

Практическое применение формул (4.9) и (5.1) будет рассмотрено в отдельной статье, которую автор планирует опубликовать в одном из следующих номеров «МК».

Литература

1. Пухов А. В. Закономерности теплообмена // Мир климата. 2018. № 107.

2. Пухов А. В. Коэффициент рекуперации при теплообмене. Парадоксы теплообмена // Мир климата. 2017. № 103.

3. Кейс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. М.: Энергия, 1967.

4. Ramesh K. Shah and Dusan P. Sekulic. Fundamentals of Heat Exchanger Design. Copyright © 2003 John Wiley & Sons, Inc.

А. В. Пухов, технический директор компании-производителя воздушных завес Tropik-Line

Предыдущая статьяПриточно-вытяжные вентиляционные установки с пластинчатыми рекуператорами тепла. Технический обзор рынка
Следующая статьяКлиматическое оборудование Daichi

Решение года