Теория и практика течения теплоносителя в магистралях. Расчеты гидравлических схем

Написать статью, в которой бы на основе самых общих физических закономерностей пояснялся смысл явлений течения жидкости, авторы решили, исходя из нескольких соображений. Во-первых, приводимые ниже соотношения важны для расчетов схем водоснабжения и при использовании жидких теплоносителей. Во-вторых, при кажущейся обыденности темы у нее имеются многочисленные нюансы и интересные следствия. И наконец, авторам нигде не удалось найти достаточно полного и связного раскрытия темы, которое при этом не было бы перегружено несущественными вопросами.

Историческая справка

Гидравлика как наука о закономерностях течения жидкостей возникла еще во времена Античности, и развивалась на протяжении веков. Как любая феноменологическая область знания, она ставила вопрос: «Как именно?» Получить формулу, связывающую между собой параметры течения жидкости по трубе, удалось в 1839 году Готтхильфу Хагену, а через год — Пуазейлю. В их соотношениях вязкость как физическая величина не использовалась. Закон Пуазейля, в котором для представления результатов экспериментов приводилась величина текучести K’‘, связанная с вязкостью соотношением K’‘ = / (128), выглядел так:

В переводе на современный язык обозначений для некоторого сечения формула Хагена — Пуазейля для расхода жидкости имеет дифференциальный вид:

Здесь Q — объемный расход жидкости, м³/с; dp/dx — производная давления по длине трубы, при постоянном диаметре трубы dp/dx = p/L, Па/м; L — длина трубы, м; D — диаметр трубы, м;
— динамическая вязкость жидкости, Па•с.

Формулировка (2) информативнее (1), при отсутствии резких изменений она может использоваться и при непостоянном диаметре трубы, а из условия постоянства расхода по длине следует, что перепады давления будут меньше в местах, где труба шире. Поскольку расход Q прямо пропорционален средней скорости течения по трубе u (м/с), можно сказать, что основной смысл формулы (1) — пропорциональность перепада давления и скорости: p ~ u. До Пуазейля труды Прони, Дюбуа, Жерара, Якобсона и других соответствовали закономерности р = аu² + bu, где a и b — некоторые постоянные [1]. Дарси и Вейсбах на основании работ Прони в 1840–1850-х годах предложили общий вид формулы для потерь давления при течении по трубе в виде:
p = f• (L/D) •2u², где f — фактор Дарси-Вейсбаха. О характере поведения f и переменных, от которых фактор зависел, не было известно практически ничего.

Совершенно иной областью знания, для которой основной вопрос звучит: «Почему именно так?», является гидродинамика. Для теоретического решения задач течения Исаак Ньютон предложил гипотезу о силах трения, возникающих между соседними слоями жидкости. Величина сил, согласно Ньютону, пропорциональна площади этих слоев и скорости относительного сдвига. Д’Аламбер в 1752 году впервые продемонстрировал, что движение жидкости можно представить в форме полей, являющихся решениями некоторых уравнений движения. Математики, развивая теорию дифференциальных уравнений в частных производных, предложили вид этих уравнений. Применив второй закон Ньютона к бесконечно малому объему жидкости, Эйлер опубликовал уравнение дифференциального закона течения невязких жидкостей. Уравнения Лагранжа имели внешне иной вид, и, хотя они оказались эквивалентными уравнениям Эйлера, это развило глубину понимания закономерностей движения жидкости. С этого времени гидродинамика утрачивает видимую связь с гидравликой как сугубо практической наукой и становится областью применения новейших для того времени математических методов. Дальнейшее развитие теории согласно гипотезе Ньютона о величине сил трения привело к учету вязкости за счет введения слагаемого, пропорционального векторному оператору Лапласа над векторным полем скоростей и, таким образом, выводу уравнений Навье — Стокса, которые и по настоящее время являются важнейшим объектом численного и аналитического исследования. В 1845 году Джорджу Стоксу удалось их решить для стационарного осесимметричного случая в цилиндрической системе координат и впервые теоретически получить параболическое распределение скоростей при движении жидкости по трубе. Если принять, что около стенок трубы скорость жидкости равна 0, то есть происходит прилипание жидкости к стенкам, то он мог бы вывести (2) теоретически. Однако Стокс не публикует вывод (2) по причине того, что идея «прилипания» кажется ему абсурдной. Другой причиной отказа от публикации вывода формулы (2), возможно, послужили результаты экспериментов, в которых она нарушалась (для турбулентных режимов). Кроме того, у физиков до 70-х годов XIX века не было уверенности не только в факте прилипания, но и в принципиальной правильности уравнений Навье — Стокса. Затем и сами уравнения Навье — Стокса и их граничные условия — равенство 0 скоростей на стенке — были надежно подтверждены множеством фактов. Гидродинамика с этого времени стала основанием гидравлики, предлагая объяснения эмпирических закономерностей.

Параллельно с началом исследования турбулентного движения жидкости в конце XIX века в физике появляется размерный анализ. Это осознание всеобщего характера физических законов, связанное с размерной основой всех физических величин и особой ролью их некоторых безразмерных отношений (чисел). Его закономерности развивали Ж. Бертран, О. Рейнольдс, Э. Мах, Дж. Релей, В. Нуссельт, А. Федерман, Э. Букингем, г. Вейль и другие. Для практического применения этого направления при описании различных процессов часто необходимым умением являлась лишь способность перечислять, иногда угадывая, все существенные величины процесса. Для задачи о течении жидкости по трубе из формулы (2) следует, что таких существенных переменных, по-видимому, всего четыре: dp/dx, D, и u, которая связана с расходом простым соотношением: u = 4Q/ (D²). Однако этому противоречил большой накопленный к тому времени опыт измерений. При малых скоростях течения и малых диаметрах трубок равенство (2) выполнялось точно и дополнительных величин для описания течения не требовалось. Однако при увеличении скоростей течения величины расходов не только отклонялись от предсказанных (2), но и становились различными для жидкостей разной плотности , даже если у этих жидкостей совпадали вязкости при одинаковых перепадах давления и диаметрах труб. Таким образом, изотермический процесс течения жидкости по гладкой трубе в общем случае полностью определяется следующими величинами: (кг/м³), (кг/м•с), D (м), u (м/с), dp/dx (кг/м²с²). Теорема размерного анализа для случая течения жидкости по трубе утверждает:

1). существует всего 5–3=2 независимых безразмерных переменных процесса у₁ и у₂ (5 — это число всех значимых величин процесса, а 3 — число основных размерностей из метр-килограмм-секунда, используемых в обозначении указанных 5 величин).

2). у₁ и у₂ связаны друг с другом для любых течений по трубе до тех пор, пока течение определяется только принятыми 5-ю переменными. Недостатком размерного анализа, если так вообще можно выразиться, является то, что он никак не помогает определить эту связь. Итак, выберем две безразмерные переменные, например, следующим образом:

Они независимы: в у₁ не входит вязкость, а в у₂ — изменение давления. Вместо этих величин можно выбрать их отношение и произведение. Однако выбор (3) очень удобен и естественен. Для обезразмеривания dp/dx надо умножить на величину размерности длины D и разделить на величину размерности давления, самая простая из которых u²/2, так называемое динамическое давление, на его измерении с помощью трубки Пито — Прандтля основан расчет скорости набегающего воздушного потока, например, для самолетов. у₂ — единственный безразмерный параметр, который может связать четыре величины нашей задачи, за исключением dp/dx. Учитывая, что перепад давлений является причиной течения, можно, образно говоря, представить следствие отдельно от причины. Итак, переменные у₁ и у₂ выбраны. Из теоремы размерного анализа следует, что они связаны, а именно: у₁ = f (у₂). Используя представления (3), получим:

В этом выражении использовано общеупотребительное обозначение переменной у₂ по имени ее первооткрывателя Re = •u•D / — число Рейнольдса. Число, потому что это не длина (l), не время (t), не масса (m) или их какая-нибудь комбинация, как, например, массовый расход (m/t) или мощность (ml²/t³), а именно безразмерное число. Сходство (4) и формулы Дарси — Вейсбаха лишь чисто внешнее, поскольку относительно (4) указанная теорема утверждает, что f — это некоторая, раз и навсегда заданная функция мироустройства, которая зависит только от Re. Из сравнения (4) и (2) получим, что для ламинарного случая

Проведение экспериментов показало, что (1) и (2), а, следовательно, и (5) для обычных течений в трубах выполняется только для Re < 2300. При 2300 < Re < 3000 происходит переход к турбулентности. Для этой области, согласно результатам графического представления [2, с. 538], можно предложить f 1,3•10^–5Re, далее до Re < 10⁵ формула f = 0,316•Re^—0,25 была предложена Блазиусом (1911) [2, с. 537] и носит его имя. Прандтль смог теоретически получить для очень больших чисел Re вид f, заданный неявно: f^—0,5 = 2•lg (Re) + lg (f) — 0,8 [2, с. 549]. Этот результат подтверждался последующими опытами для Re > 10⁵. На рис. 1 приведен вид функции f для режимов Блазиуса f_Bl и Прандтля f_Pr.

В режиме Прандтля (красная линия) зависимость f (Re) выражается не фиксированным 0,25, а уменьшающимся с ростом Re показателем степени. Итак, вид f (Re) известен для всего диапазона течений: ламинарного, переходного, Блазиуса, Прандтля. Однако в изложении с самого начала была упущена важная деталь, которая касается течений по реальным трубам. В природе невозможно создать идеально гладкие трубы, они все обладают некоторой шероховатостью. Пусть (м) — характерный размер неровностей стенок трубы. Тогда теорема размерного анализа при 6 переменных , , D, u, dp/dx, позволит сформировать 3 переменных процесса: к у₁ и у₂ добавится независимая переменная у₃ = /D (относительная шероховатость). Тогда вместо (4) для перепада давлений получим:

Это соотношение представляет f как функцию двух переменных: числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Графически ее обычно представляют как множество функций от Re, каждая для своей шероховатости /D. В ходе экспериментов обнаружилось удивительное свойство для всех таких кривых: начиная с некоторых Re, значения которых можно рассчитать для каждого значения /D, f становились постоянными f = С_/D, то есть они переставали зависеть от Re. Чем меньше относительная шероховатость, тем при больших числах Re ее влияние проявляется.

Обобщение закономерностей течения

Для всех рассмотренных значений чисел Рейнольдса представим изложенные результаты (и с учетом шероховатости, и без ее учета) в общем виде. Можно видеть, что, не выходя за пределы одного режима течения, для каждого из них возможно представление f в виде:

Например, для ламинарного режима = 1, С₁ = 64, (шероховатость не существенна), для переходного = –1, С_-1 1,3•10^–5 (здесь существенна только очень сильная шероховатость, практически редко используемая), для чистого (нешероховатого) режима Блазиуса = 0,25,
С_0,25 = 0,316, для режима развитой шероховатости = 0, С_/D — некоторые числа, зависящие только от значений относительной шероховатости. Для режимов Прандтля или любых переходов от режимов Прандтля или Блазиуса к развитой шероховатости важным является факт, что степень зависимости f от Re будет лежать в области достаточно слабой зависимости 0 < < 0,25. Хотя невозможно априори определить для всех случаев абсолютное значение С, дальнейшее изложение покажет, что этот факт несущественен и значения однозначно определят коэффициенты С. Прежде всего в основное уравнение размерного анализа (6) для общего случая течения жидкости по трубе подставим представление (7) для f, при постоянной температуре, а следовательно, и вязкости. Из (6) получим следующую пропорцию:

Соотношение (8) позволит получить ряд закономерностей для течений в пределах одного и того же режима. Найдем зависимость расхода по трубе при изменении перепада давлений на концах трубы p при постоянном диаметре. Эквивалентная постановка вопроса: как будет падать расход Q (или средняя скорость u) при увеличении длины трубы L и сохранении перепада давлений? Из соотношений dp/dx = p / L для одинаковой по сечению трубы и (8) следует:

Для ламинарного течения = 1 расход прямо пропорционален давлению Q ~ u ~ p (1) и обратно пропорционален длине: Q ~ u ~ 1 / L. Для переходного режима в пределах 2300 < Re < 3000:
Q ~ u ~ p^1/3 или Q ~ u ~ 1 / L^1/3. Для турбулентного чистого режима Блазиуса
= 1/4, Q ~ u ~ p^0,57 или Q ~ u ~ 1 / L^0,57. Для турбулентного при насыщении влияния шероховатости труб (в дальнейшем — шероховатый режим) = 0, Q ~ u ~ p^0,5 или Q ~ u ~ 1 / L0,5. Для чистого режима Прандтля или любого переходного режима между чистыми режимами Прандтля или Блазиуса и развитой шероховатостью это будут показатели степеней (обозначим их ) при p или L, заключенные в достаточно узком интервале от 0,5 до 0,57, причем при большей турбулентности (больших скорости, температуре или диаметре) они будут уменьшать свое значение. Рассмотрим теперь, как будет меняться расход Q при изменении диаметра трубы и постоянстве длины магистрали L и перепада давлений p. Из (8), считая производную dp/dx постоянной, получим:

Для расхода Q = 1/4 uD², подставляя u из (10), получим зависимость:

Для ламинарного случая это известная закономерность (1) Q ~ D⁴, для чистого режима Блазиуса
Q ~ D^19/7 (показатель степени равен 2,714), для шероховатого режима Q ~ D^5/2 (2,50), для всех переходных к шероховатости: показатель заключен в этих малых пределах и для переходного от ламинарности к турбулентности режима Q ~ D². Эта зависимость интересна тем, что средняя скорость u практически никак не изменяется при изменении диаметра D, когда Re 2300:3000. Один из важных вопросов течения по трубе заключается в том, как меняется перепад давления, необходимый для поддержания постоянного расхода по трубе при изменении ее диаметра. Учитывая, что механическая мощность, необходимая для перекачки жидкости, в точности равна произведению объемного расхода жидкости и перепада давлений N (Вт) = Q (м³/с) •p (Па), этот вопрос можно переформулировать: как изменится мощность, требуемая для перекачки того же объема жидкости при изменении диаметра трубы? При постоянном расходе, используя (8), можно представить связь градиента давления и диаметра трубы:

Для ламинарного случая получим N ~ D^-4, для чистого режима Блазиуса N ~ D^-19/4, (–4,75), для шероховатого — p ~ D^-5 и для переходного к турбулентности режима p ~ D^-6. То есть, для большинства практических случаев реального турбулентного (в том числе и шероховатого) течения это сильнейшая зависимость. Необходимая мощность перекачки будет расти со степенью около 5 при уменьшении диаметра. Соотношения (8) — (12), учитывая их монотонный характер зависимости от , можно рассматривать как доказательство некоторого утверждения о течении в трубах. Итак, пусть для течения жидкости в трубе реализуется некоторый турбулентный режим течения. Для этого режима неизвестны точно ни его принадлежность к области Блазиуса или Прандтля, ни тем более степень развитости режима шероховатого течения (неизвестна даже степень шероховатости труб). Пусть расходные характеристики течения в некотором диапазоне значений диаметров, скоростей, перепадов давлений выражаются некоторым диапазоном значений (9). Тогда и только тогда другие характеристики этого течения при изменении диаметра трубы, такие как изменение расхода при постоянном перепаде давлений или изменение требуемой мощности перекачки при постоянном расходе, будут определяться выражениями (11) и (12) при этих же диапазонах значений . Это утверждение на основании только значений расходных характеристик (9) для некоторых диапазонов размеров труб, перепадов давлений и скоростей течения позволит точно устанавливать и диапазоны значений показателей степеней зависимостей (11), (12).

Практические значения коэффициентов течения

Переходя к практическому применению полученных соотношений, необходимо указать, какие числа Рейнольдса обычно встречаются при передаче жидкости по трубам. Вообще на практике ламинарных и переходных режимов стараются избегать как экономически невыгодных — при турбулентных возможно обеспечивать значительно большие расходы. В теплообменных блоках и элементах турбулентность также желательна по причине увеличения общей теплопередачи (или числа Нуссельта) с ростом числа Re. В трубах диаметром более 10 см стандартные значения Re могут достигать миллионов. На основе данных инженерного сайта www.engineeringtoolbox.com, который представляет [3] расходные характеристики для большой гаммы размеров стальных труб (от 3/8 до 8 дюймов), можно определить расходные характеристики для широкого диапазона представленных значений Re (10⁴ : 6•10⁶). Графики [3] для всех размеров труб представлены в виде прямых в логарифмических координатах, причем для всех размеров труб, за исключением 3/8, 0,5 и 3/4 дюйма, они перекрывают широкий диапазон изменения перепадов давлений. Представим данные, полученные из графиков [3], в виде табл. 1.

Таблица 1. Значения расходов при указанных перепадах давления

Размер трубы (дюйм)	8	6	4	2	1,5	1	0,75	0,5	0,375
Перепад давления (psi/100 ft)	5,8	8,0	5,0	6,5	7,0	7,0	6,9	5,0	6,7
Расход (gpm)	3000	1730	460	90	50	15	8,0	3,2	2,0
Перепад давления (psi/100 ft)	0,073	0,050	0,076	0,055	0,074	0,050	0,100	0,170	0,560
Расход (gpm)	300	115	50,0	7,00	4,00	1,00	0,80	0,50	0,50

Представленные единицы измерения перепадов давлений по длине трубы — фунт на квадратный дюйм (1 psi = 6895 Па) на длину 100 футов (100 ft = 30,48 м), единицы объемного расхода — галлон в минуту (1 gpm = 0,2271 м³/ч). Зависимости в виде прямых в логарифмическом масштабе координат подразумевают степенные зависимости расхода для каждого из диаметров от перепада давлений для всего диапазона измерений. Представим эти данные в табл. 2 в привычных единицах измерения и вычислим для каждого из диаметров расходную характеристику .

Таблица 2. Степени расходных характеристик для стальных труб различных диаметров

Размер трубы (дюйм)	8	6	4	2	1,5	1	0,75	0,5	0,375
Перепад атм/100 м	1,312	1,810	1,131	1,470	1,583	1,583	1,561	1,131	1,516
Расход куб. м/ч	681,30	392,88	104,47	20,439	11,355	3,407	1,817	0,727	0,454
Перепад атм/100 м	0,017	0,011	0,017	0,012	0,017	0,011	0,023	0,038	0,127
Расход куб. м/ч	68,13	26,117	11,355	1,590	0,908	0,227	0,182	0,114	0,114
Отношение расходов	10,000	15,043	9,200	12,857	12,500	15,000	10,000	6,400	4,000
Отношение давлений	79,45	160,00	65,79	118,18	94,59	140,00	69,00	29,41	11,96
Степень расходной характеристики,	0,526	0,534	0,53	0,535	0,555	0,548	0,544	0,549	0,559

Для всех труб (кроме малой, размера 3/8 дюйма) эта зависимость колеблется в области
Q ~ p^0,525:0,555. То есть теоретически возможный диапазон для реальных течений по стальным трубам еще более сужается и для большинства реализующихся случаев практических течений по трубам можно принять = 0,54±0,015. То, что степень расходной характеристики все же незначительно отличается от 0,5, приводит к тому, что, вообще говоря, широко применяемую в гидравлике формулу для скорости u = Kv•p^0,5 можно использовать лишь в ограниченном диапазоне скоростей и давлений. Если необходима приемлемая точность для широкого диапазона давлений или расходов, то эту формулу можно переопределить с учетом, что u ~ p^0,54 или
p ~ u^1,85. Для уже представленных данных для новых стальных труб [3] в табл. 3 приведем различия двух подходов — предложенного и стандартного — для представленного диапазона давлений.

Таблица 3. Сравнение погрешностей предложенного и стандартного методов расчета расходов

Размер трубы (дюйм)	8	6	4	2	1,5	1,0	0,75	0,5	0,375
Погрешность формулы u ~ p0,54, %	6,2	3,0	4,2	2,3	6,7	3,9	1,6	3,0	4,5
Погрешность формулы u ~ p0,5 %	10,9	15,9	11,8	15,4	22,2	21,1	16,9	15,3	13,5

Из этих данных следует, что стандартный подход менее точен. Заметим, что со временем значения могут несколько уменьшиться из-за увеличения шероховатости, однако они всегда будут не ниже 0,5. Применяя утверждение, доказанное выше, к диапазону степеней расходных характеристик = 0,525:0,555 (это соответствует интервалу 0,095 < < 0,185), получим: для всех труб, кроме трубы размера 3/8 дюйма, можно представить зависимости характеристик от диаметра. Расход при постоянном перепаде давлений должен быть пропорционален D в степени 2,62±0,05, а мощность перекачки при постоянном расходе пропорциональна D в степени -4,85±0,05. Таким образом, можно предложить достаточно точные закономерности для стандартного турбулентного течения по стальным трубам ( = 0,54±0,015):

Более низкие значения шероховатостей новых пластиковых труб подразумевают несколько смещенные средние значения показателей (около 0,55; 2,65; -4,82). В практическом отношении этот набор неотличим от (13). Проверим на основе приведенных данных, выполняется ли пропорциональность Q ~ D^2,62 для каждого из представленных диаметров. Для этого представим в табл. 4 усредненные коэффициенты пропускных способностей KD, которые определяют объем прокачки для каждой из труб QD = K_D•(p/L) ^0,54. Из приведенных данных следует, что для всех труб, за исключением двух малых диаметрами 0,5 и 0,375 дюйма, можно предложить коэффициент K = 2,74, который будет являться удовлетворительным приближением.

Таблица 4. Погрешности усредненного значения коэффициента пропускной способности K = 2,74

Размер трубы (дюйм)	8	6	4	2	1,5	1,0	0,75	0,5	0,375
Среднее значение К	2,74	2,74	2,74	2,74	2,74	2,74	2,74	2,74	2,74
Точное значение КD	2,61	2,65	2,64	2,73	2,96	2,61	3,01	4,12	4,63
Относительная погрешность, %	4,9	3,5	3,7	0,3	7,4	5,1	9,0	33,5	40,9

Таким образом, для труб диаметрами от 0,75 до 8 дюймов (от ~ 20 мм до 200 мм) можно представить универсальную формулу для выражения расхода:

Значение коэффициента в этом соотношении подразумевает удобные в практическом отношении единицы измерения: расходов — в л/с, диаметров — в дюймах, перепадов давлений — в атмосферах, а длин труб — в единицах длины «100 метров». Высокая точность выполнения соотношения подтверждает связь параметров течения, теоретически обоснованную выше. Используя (14), можно в явном виде представить и последнее соотношение из (13), которое выражает механическую мощность прокачки по трубе. Без вывода приведем:
N (Вт) =15,5L•Q^2,85/D^4,85, где длина трубы L измеряется в «100 м», расход Q — в л/с,
диаметр D — в дюймах.

Расчет гидравлических схем

Соотношения (13) позволят пересчитывать характеристики течения по трубам для любых изменений параметров. Пусть, например, известно, что для трубы некоторого диаметра при перепаде давления в 0,3 атм передается 3 литра жидкости в секунду. Как, например, изменится эта величина для трубы, в 1,5 раза более длинной, в 1,5 раза большего диаметра при меньшем в 1,5 раза перепаде давления? Большая длина и меньшее давление учитываются первой парой соотношений из (13), каждое из которых приводит к падению в 1,245 раза. Учет их уменьшит расход в 1,55 раза. Увеличение диаметра учитывается третьим соотношением из (13) и приведет к увеличению расхода в 2,89 раза. С учетом всех трех факторов расход возрастет в 1,87 раза и достигнет 5,6 л/с.

Теперь перейдем к вопросу комбинации параллельных и последовательных соединений с использованием труб. Здесь полезна аналогия с электрическими схемами. Электрический ток в некотором смысле представляет аналог расхода жидкости, оба они являются следствиями причины, которую в одном случае представляет электрическое напряжение, а в другом — перепад давления. Коэффициентом пропорциональности является в обоих случаях некоторая величина проводимости k, то есть I = k•U, Q = k•p. Для случая течения жидкостей k более точно называть не проводимостью, а пропускной способностью. Значение коэффициента пропускной способности (Kv) некоторого элемента можно считать объемным расходом воды в м³/час при комнатной температуре и перепаде давления на этом элементе 10⁵ Па (1 атм). Но для приведенной аналогии для электрического тока и тока жидкости будем использовать именно понятие проводимости. Для параллельного соединения двух элементов в обоих случаях проводимость схемы будет являться суммой их проводимостей: k = k₁ + k₂, поскольку общая пропускная способность схемы может рассматриваться как суммарная для двух независимых каналов. Значимый факт состоит в том, что если у двух параллельных элементов гидравлической схемы совпадают степени расходных характеристик, то и схема в целом будет иметь ту же расходную характеристику:
Q = Q₁ + Q₂ = k₁•p + k₂•p = (k₁ + k₂) p = k•p. Для полной электрической проводимости в случае последовательного соединения двух элементов закон Ома приводит к закономерности:
k = k₁k₂/ (k₁ + k₂). Если два элемента гидравлической схемы имеют одинаковую расходную характеристику , то полная гидравлическая проводимость схемы при их последовательном соединении будет определяться выражением:

Действительно, постоянство расхода для каждого из двух элементов схемы означает, что
Q = k•p = Q₁ = k₁•p₁ = Q₂ = k₂•p₂. Из равенства k₁•p₁ = k₂•p₂ следует, что
p₂ = p₁• (k₁/k₂)^1/. Полный перепад давления последовательной схемы p = p₁ + p₂ можно представить в виде p = p₁• (1+ (k₁/k₂)^1/) = p₁• (k₁^1/ + k₂^1/) / k₂^1/. И, учитывая равенство k•p = k₁•p₁, получим k•p₁• (k₁^1/ + k₂^1/) / k₂ = k₁•p₁, откуда следует (15). Приведенные формулы также означают, что последовательное соединение будет иметь такую же расходную характеристику , что и составляющие. Но принципиальное отличие последовательного соединения гидравлической проводимости (15) от случая электрической схемы состоит в том, что если величина проводимостей двух элементов заметно различается, то для последовательной гидравлической схемы можно пренебречь присутствием в схеме элемента большей проводимости. Это следует из того, что для турбулентных течений принимают значения около 0,5. В практических приложениях гидравлики большое внимание уделяется нахождению гидросопротивлений (обратных величин проводимостей) для различных поворотов, сужений, тройников, закруглений. Однако если эти сопротивления хотя бы в несколько раз меньше сопротивления основных элементов магистрали, то их влиянием на течение вообще можно пренебречь. Допустим, что в (15) значение проводимости k₂ во много раз превосходит значение k₁, тогда, произведя разложение (15) по малому параметру k₁/k₂, получим выражение погрешности для приближения k k₁:

Если, например, значение k₂ в 5 раз превосходит значение k₁, то пренебрежение значением k₂ приведет для электрической схемы к заметной ошибке в 20%, а для гидравлической, как это следует из (16), при = 0,54 — менее 2,8%! Гидросопротивление регулирующего вентиля или клапана должно изменяться в пределах от заметно меньших до заметно более высоких значений, чем сопротивление всей остальной магистрали. Из (16) следует, что, когда сопротивление регулирующего устройства превосходит сопротивление всей магистрали лишь в несколько раз, можно полностью пренебречь сопротивлением магистрали (16). Отметим, что пренебрегать умеренно большими значениями проводимостей для последовательных соединений гидравлических схем можно только в турбулентных случаях, в то время как закономерности ламинарного течения полностью соответствуют законам расчета электрических схем.

Учитывая равенство степеней расходных характеристик сложных гидравлических схем, которые можно представить как сочетания последовательных и параллельных соединений элементов и самих элементов, можно получить важное следствие. Для схем, которые состоят из труб и их различных соединений, разветвлений, трубных коллекторов, закруглений… расходные характеристики будут с высокой точностью равны таковым для используемых в этих схемах труб. Из первой формулы (13) следует, что для большинства реализующихся случаев практических течений по трубам можно принять 0,54.

Следовательно, для схем, основными элементами которых в смысле оказываемого сопротивления являются трубы, степень полной расходной характеристики будет достаточно близка к 0,54. Например, для теплообменных блоков, которые используются в воздушных завесах «Антарес» и «Тропик», соответствующие степени расходных характеристик составляют соответственно 0,55 и 0,54, что с высокой точностью согласуется с представленной теорией.

Пример расчета схемы магистрали снабжения воздушных завес

Полученные соотношения можно применять для различных классов задач. Покажем, как оценивать необходимые характеристики, на примере параметров магистрали теплоносителя при использовании воздушных завес. В качестве примера оценочного гидравлического расчета рассмотрим схему из двух теплообменных агрегатов, смесительного узла, находящегося вблизи одного из теплообменников, труб разводки от смесительного узла до второго теплообменника, находящегося на расстоянии 10 метров, и труб подводки от подключения к внешней системе до смесительного узла длиной 50 метров (рис. 2).

Эту схему можно представить в виде, изображенном на рис. 3.

Будем считать, что расчетный (максимальный) расход через каждый из теплообменных блоков составляет 1500 л/ч, что определяет величину полного секундного расхода Q = 0,833 л/с. Дополнительная трубопроводная магистраль 2 к одному из теплообменных блоков приведет на этом участке к некоторому падению давления, величину которого можно вычислить. Это падение при определенной длине будет зависеть только от расхода и диаметра трубы магистрали 2 и, соответственно, будет принимать максимальное значение при наибольшем расходе. В качестве длины L магистрали 2 необходимо учесть ее полную длину — 20 метров, значение наибольшего расхода составляет Q = 0,417 л/с. Рассчитаем по формуле (14) значения для падения давления p₂ на этом участке при этом расходе. Если по условиям использования воздушных завес необходимо обеспечить равенство расходов через оба теплообменника, то в магистраль ближнего теплообменника можно включить балансировочный вентиль, который обеспечит близкое к p₂ значение падения давления. Тогда общий перепад давления на каждой ветви этой схемы будет составлять величину p = p_T + p₂, где p_T — это падение давления на теплообменном блоке при расчетном расходе, его значение обычно приводится поставщиком оборудования. Учитывая соотношения для параллельной схемы соединения, приведенные выше, получим, что суммарный перепад давления на параллельной схеме будет равен падению давления на одном из ее элементов, например p_T + p₂ (падение давления на втором элементе будет в точности таким же). Заметим, что существуют и другие возможности согласования расходов теплообменных блоков. Во-первых, можно выбрать диаметр трубы 2 таким образом, чтобы ее гидравлическое сопротивление было меньше гидросопротивления теплообменника в 5 или более раз. Это практически производится подбором диаметра по формуле (14). Тогда из (16) следует, что можно вообще пренебречь дополнительным сопротивлением магистрали 2. Во-вторых, можно допустить и неполное равенство расходов теплообменников. Формулы (14) и (16) позволят найти степень рассогласования расходов, чтобы она оставалась приемлемой для конкретной задачи использования воздушных завес. Чтобы найти полное падение давления Р на всей схеме, необходимо рассчитать падение давления pСМ на смесительном узле для требуемого расхода (в нашем случае 0,833 л/с), зная его расходную характеристику, и падение давления p₁ на основной магистрали 1, которая связывает смесительный узел с внешней системой подачи и отбора воды. Для расчета p₁ также используется формула (14), в которой необходимо учесть полную длину магистрали 1–100 метров, причем значение p₁ будет сильно зависеть от диаметра используемой трубы. Затем полное падение давления на схеме Р=p_T+p₂+pСМ+p₁ необходимо сравнить с разницей давления в системе подачи и обратного отбора воды. Если это значение в системе превышает Р, то для работы в расчетном режиме можно не использовать дополнительный насос. Если же значение перепада давлений в системе недостаточно, то использование насоса необходимо, причем можно произвести простую оценку его характеристик. Если сравнение разницы подачи и обратного отвода «не дотягивает» до Р на 0,8 атмосферы, то нужно использовать насос с номинальным напором не менее 1 атм (10 метров) и номинальным расходом не менее 3600 м³/ч. Иногда при достаточно длинных магистралях необходимы существенно более высокие характеристики напоров насосов. Это связано с переходными процессами разгона больших масс воды. Приведенные в статье соотношения позволяют рассчитывать и другие схемы тепло- и водоснабжения, например, схемы использования радиаторов отопления.

При расчете мы не учитывали разницу падений давления на участках труб холодной и горячей воды. Покажем, почему этой зависимостью в случае теплоснабжения можно пренебречь. Вообще перепад давления при прочих равных условиях для горячей воды будет несколько меньшим или в крайнем случае таким же, как и для холодной. Это является следствием невозрастания f (Re) для всего турбулентного диапазона при любых шероховатостях и степенях развитости шероховатого режима течения. Значение Re для горячей воды больше из-за ее меньшей вязкости. Если расходная характеристика течения в точности равна 0,5, то f (Re) не зависит от значения Re. В рассматриваемом случае стальных труб она составляет величину 0,54, что приводит к незначительному падению сопротивления (~ 1/Re^0,15) в магистрали горячей воды по сравнению с магистралью холодной из-за большей турбулентности ее течения.

Интуитивно высокая турбулентность ассоциируется с высокими значениями сопротивления из-за беспорядочности турбулентного движения и, как следствие, с большей диссипацией энергии. В чем заключается рациональное объяснение меньшего поглощения энергии течения по трубе при большей турбулентности? Дело в том, что при росте степени турбулентности наряду с увеличением хаотичности движения происходит и укрупнение ядра течения, а падение скорости до нуля происходит лишь в слое очень незначительной толщины около стенок — так называемом пограничном слое [4, стр. 252], теорию которого создал Прандтль. Степень поглощения энергии увеличивается, но область, где она в основном происходит, уменьшается. Это же объясняет и независимость степени сопротивления при росте Re для развитого шероховатого течения. Когда пограничный слой при увеличении Re становится настолько тонким, что сравнивается по абсолютной величине со значением шероховатости , то его дальнейшее уменьшение при росте Re становится невозможным, что обуславливает постоянство сопротивления.

Литература

1. Воларович М. П. Работы Пуазейля о течении жидкости в трубах. Известия Академии наук СССР, серия физическая, XI, 1947, № 1.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — м.: Наука, 1974. — 712 с.
3. http://www.engineeringtoolbox.com/steel-pipe-schedule-40-friction-loss-diagram-d_1145.html
4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. Теоретическая физика, том VI. Гидродинамика. Изд. 3-е, перераб. — М.: Наука. — 1986. — 736 с.