Первая часть статьи «Коэффициент рекуперации при теплообмене» была опубликована в журнале «Мир климата» № 101. Первоначально планировалось завершить статью второй практической частью, состоящей преимущественно из расчетов коэффициентов рекуперации реальных теплообменных блоков и воздушных завес. Однако перед этим необходимо прояснить оставшиеся без внимания теоретические вопросы. Название этой части статьи обусловлено характером приведенных в ней закономерностей теплообмена, которые на первый взгляд не являются очевидными. Рассматриваемые темы не получили достаточного освещения не только в классических публикациях ([3], [4]), но и в современных работах по развитию теории теплообмена. Все представленные в этой части статьи закономерности универсальны и являются важными для понимания смысла явлений передачи тепла. Они проявляют себя в любых аппаратах обмена теплом двух сред.
1. «Минимальное» качество теплообмена при разном расходе теплоносителей
В первой части было показано, что для равных расходов одинаковых сред при = 0,5 конечное состояние системы с термодинамической точки зрения будет обладать низшим из всех возможных вариантов качеством. А именно при = 0,5 энтропия конечного состояния системы максимально увеличится по сравнению с начальным состоянием, а при = 0 и = 1 энтропия вообще не изменится. При каком значении эффективности реализуется минимальное качество конечного состояния системы в общем случае произвольного соотношения расходов? Ответим на этот вопрос для двух сред равных теплоемкостей (рис. 1).
Приведем выражение секундного изменения энтропии S [Вт/К] воздуха в рекуператоре. Температура уличного воздуха Tул, а его конечная температура Тпр. Температура комнатного воздуха Ткомн, а его конечная температура T’. Пусть массовый расход притока превышает вытяжку в n раз. Тогда аналог соотношения (5), которое было получено в первой части для равных расходов (с — теплоемкость [Дж/кг·К], g — массовый расход вытяжки [кг/с]), примет вид:
S = Sпр + Sвыт = n·с·g·ln(Tпр/Tул) + с·g·ln(T’/Tкомн). (10)
Введем обозначения: Тул = Т, Ткомн = Т + Т. Из приведенного определения коэффициента рекуперации (3), которое для условий превосходства притока можно переписать в виде
/n = (Тпр — Тул) / (Tкомн —Tул), (11)
получим Тпр = Т + Т·/n. Из закона сохранения энергии найдем температуру вытяжного воздуха Т’= Т + Т(1 — ). Все полученные значения температур отразим на рис. 2.
Если температура притока меньше Т, то Т нужно считать отрицательным. Подставляя все приведенные значения температур в (10), получим: S = Sпр + Sвыт = с·g·ln(uv), где u = (Т + Т·/n)n / Tn, v = (Т + Т(1 — )) / (Т + Т). Для того чтобы найти , при котором S имеет наибольшее значение, надо приравнять к 0 производную dS/d. Так как с и g — константы, а логарифм — возрастающая функция, достаточно приравнять нулю производную (uv). Вычисления показывают, что (uv) максимально, когда
= n / (n + 1). (12)
Действительно, учитывая, что производная произведения (uv)’= u’v + uv’, для этих слагаемых получим: u’v = uv·Т / (Т + Т·/n), uv’= — u·Т / (Т + Т). Отсюда следует, что (uv)’= 0, когда (Т + Т (1 — ))·Т = (Т + Т·/n) ·Т, что в свою очередь сводится к равенству = n/(n + 1).
Заметим, что вывод (12) справедлив для любых значений Т и Т и для любых соотношений расходов. Из (12) следует, что если расходы (или в общем случае тепловые эквиваленты) сред различаются в 3 раза, то состояние с наибольшей конечной энтропией будет реализовываться при = 3/4 . Если же расходы различаются во много раз, то это состояние реализуется уже при достаточно близких к 1, то есть к своему возможному максимуму. Подтвердим представленные рассуждения примерами. Примем Т = 300К, Т = 50К, то есть Т/Т = 1/6, и пусть расход одного из теплоносителей превосходит расход другого в 10 раз. На графике 1 представим поведение частного для этого примера S/cg (10) при всех возможных значениях . (S — изменение энтропии системы при теплообмене.)
В другом случае примем Т = 300К, Т = 200К, Т/Т = 2/3, и пусть расход одного из теплоносителей превосходит расход другого в 3 раза. На графике 2 представим поведение частного S/cg для указанных условий:
Чем больше увеличение энтропии при теплообмене, тем ниже качество этого обмена, так как этот обмен приближает систему к равновесному уровню. Возникает следующий парадокс: при разнице n в расходах теплоносителей минимальное качество теплообмена (больший рост энтропии) для всех реализуется при = n/(n + 1), что означает значения близкие к 1 при больших n. С другой стороны, по самому определению коэффициента , его значения, близкие к 1, определяют именно наивысшее возможное качество теплообмена. Низшее из возможных качество должно всегда реализовываться при = 0.
Устраним кажущееся противоречие. Теплообмен — это передача энергии, для рассмотренного случая она составляет Е = с·g··Т джоулей в секунду. (Это следует из приведенного выше расчета для температуры вытяжного воздуха, которая изменяется на Т с учетом его расхода cg.) Качество теплообмена определяется изменением энтропии в расчете не на количество прокачанного теплоносителя, а на величину переданной при этом энергии. Приведем графики поведения S/Е для примеров, рассмотренных выше. В них точное значение S считается по формуле (10), а Е = с·g··Т. Для первого примера (Т/Т = 1/6, n = 10) представим результаты на графике 3, а для второго (Т/Т = 2/3, n = 3) на графике 4.
При увеличении качество теплообмена всегда растет, так как уменьшается прибавка энтропии в расчете на единицу переданной энергии.
2. При пропорциональном увеличении двух расходов эффективность всегда уменьшается
Пусть при некоторых начальных расходах двух необязательно одинаковых сред коэффициент рекуперации принимает значение 0. Во сколько раз увеличится мощность теплообмена, если увеличить оба расхода в 3 раза? Для разных теплообменников при различных условиях этот рост может составить разные величины, но он никогда не сможет превысить 3. Так как мгновенная передача тепла в любых материалах (теплообменника) невозможна, то на каждую единицу массы теплоносителей при возрастании расходов будет передано меньше энергии. Соотношение (1), которое может быть представлено как:
= W / (сg)minT, (13)
позволяет заметить, что при таком росте расходов уменьшится. В то время, как (сg)min возрастет в 3 раза, мощность — в меньшее число раз. Математически этот факт можно выразить так: для каждого конкретного теплообменника существует функция его эффективности
= (g1, g2), (14)
и всегда уменьшается, если оба расхода вырастут в точно одинаковое число раз k:
(kg1, kg2) < (g1, g2) для любых k > 1. (15)
Это свойство теплообменных систем следует из определения (13). Оно настолько очевидно и соответствует установкам здравого смысла, что неясно, в чем здесь может заключаться парадокс? Напомним, что приведенные рассуждения справедливы только для пропорционального увеличения двух расходов, то есть обоих в 3 раза или обоих на 40% и т. д. Но что произойдет, если оба расхода увеличатся, но непропорционально, например, один на 40%, а другой в 3 раза? Ответим на этот вопрос в следующем пункте.
3. Как ведет себя при непропорциональном увеличении расходов?
Если в обмене участвуют среды разных теплоемкостей, то наименьший из двух тепловых эквивалентов (сg)min обычно обозначается Сmin, другой — Сmax (тогда n = Сmax/Сmin). В случае разных теплоемкостей, например, в (10) вместо ncg и cg нужно использовать Сmax и Сmin соответственно. Иногда Сmin и Сmax удобно измерять в единицах A·U, где A[м2] — так называемая средняя площадь теплообмена, а U[Вт/м2К] — обобщенный коэффициент теплопроводности теплообменника [3]. При непропорциональном росте расходов может или уменьшаться или расти. Покажем это на примере теплообменника с поперечным током [3], в котором оба потока не перемешиваются по мере течения. Этот случай, близкий теплообмену в воздушных завесах допускает удовлетворительное приближение от значений расходов. В безразмерных единицах эквивалентов можно представить:
= 1 — exp(CmaxCmin-1,22[exp(—Cmax-1Cmin0,22) — 1]) (16)
Отложим на графике 5 по оси абсцисс значения безразмерного расхода Сmax. Для каждой кривой представим значения для фиксированных значений Сmin. На этом графике рассмотрим несколько точек (Сmin; Сmax), Сmin определяет принадлежность к кривой, Сmax — значение по горизонтальной оси. Пусть точка 1 (0,5; 0,5) определяет начальное состояние теплообмена. При пропорциональном увеличении расходов (пункт 2) эффективность теплообмена уменьшится, точки 2(1; 1) или 3 (1,5; 1,5) действительно находятся ниже по вертикальной оси, что означает меньшие . Но если увеличивать расходы непропорционально, то эффективность может и уменьшиться 4(1; 2) и вырасти 5(0,7; 1,5).
Для прямотока или противотока формулы эффективности отличны от (16), но приводят к таким же качественным результатам: при произвольном увеличении расходов в теплообменной системе эффективность теплообмена может как расти, так и падать!
4. Изломы на графиках и большие значения при значительных разностях в расходах
Кроме указанной неопределенности есть и более существенные недостатки, которые обнаруживает поведение . Чтобы их продемонстрировать отложим по горизонтальной оси Графика 6 значения одного из безразмерных расходов С1, а для каждой из кривых представим значения для фиксированного значения С2 для того же вида теплообмена (16). Для каждой из представленных кривых существует особая точка-минимум, справа от которой С1 — это Сmax, а С2 — это Сmin, а слева С1 — это Сmin, а С2 — это Сmax.
График 6 демонстрирует, что когда один из расходов существенно меньше другого, значения всегда большие, они стремятся к 1. Кроме того, в точках, где оба расхода совпадают, находятся изломы кривых. Это принципиальное неудобство теории теплообмена, потому что такое поведение демонстрируют любые теплообменные системы. Связаны ли эти изломы с каким-либо физическим проявлением свойств теплообменных систем? Нет, при изучении закономерностей теплообмена или проведении экспериментов по определению мощности при теплообмене какие-либо точки, в которых происходят скачкообразные изменения, отсутствуют. При увеличении любого из расходов происходит всегда плавное увеличение мощности, а особенности поведения графиков обусловлены лишь определением коэффициента (13).
Возможно ли такое доопределение коэффициента , которое позволило бы избежать как неоднозначности его поведения, которую демонстрирует график 5, так и не связанных с физическим смыслом явлений изломов кривых (график 6)? Возможно ли избежать асимметрии в стандартном определении (13) относительно Сmin и Сmax?
Забегая вперед, отметим, что доопределение коэффициента эффективности, которое избавляет его от всех указанных недостатков, возможно. Чтобы определить его вид, необходимо будет вернуться к закономерности поведения величины S/Е при теплообмене.
5. Как расширить определение ?
Строго говоря, величина S/Е при любом возможном теплообмене зависит от начальной температуры холодной среды Т и трех безразмерных параметров: T/Т, и n. Когда = 0, то S/Е всегда принимает значения Т-1·(T/Т)·(1 + T/Т)—1 независимо от n. Это можно проверить переходом к пределу -> 0 в (10), а именно раскрытием неопределенности 0/0 ln(uv)/(Т) в нуле . (Следует отметить, что значение Т-1·(T/Т)·(1 + T/Т)—1 при любых n в точности равно выработке энтропии в теплопроводящем стержне, который соединяет два тепловых резервуара с температурами Т и Т + Т [5].) Далее, графики 3 и 4 демонстрируют почти линейное поведение при увеличении . Причем, при n = 1 (это было доказано в первой части статьи) с асимптотической точностью по параметру T/Т можно представить:
S/Е Т-1·(T/Т)·(1 + T/Т)—1·(1 — ), n = 1 (17)
То есть, график S/Е — это почти прямая линия, которая при = 0 принимает наибольшее значение и уменьшается до 0 по мере роста до единицы. При очень больших n график демонстрирует приблизительно в 2 раза меньшее падение по мере роста . Как видно из примера, который приведен на графике 3 (Т/Т = 1/6, n = 10), значения S/Е при = 0 равно 4,76·10—4 и при = 1 равно 2,23·10—4. Если n равнялось бы 100 (Т/Т = 1/6, n = 100), то при том же значении 4,76·10—4 для = 0, S/Е примет значение 2,48·10—4 для = 1. То есть, наклон этой почти прямой линии уменьшается по мере роста n от 1 до очень больших значений на 48%, то есть приблизительно в 2 раза. И так происходит для всех малых и умеренных Т/Т < 0,6. Следовательно, можно предположить:
S/Е Т-1·(T/Т)·(1 + T/Т)—1·(1 — /2), для больших n (18)
Для общего случая произвольных и n с учетом (17) и (18) можно предложить:
S/Е Т-1·(T/Т)·(1 + T/Т)—1·(1 — (1 + n-1) /2). (19)
Эта формула переходит и в (17) и (18) в обоих предельных случаях n = 1 и n->. Формула (19) имеет два неоценимых достоинства. Во-первых, изменение энтропии представимо в виде произведения S/Е = f1(Т, T/Т)·f2(, n). А это означает принципиальную возможность (19) определить некоторый коэффициент для любой теплопередачи, независящий от температур. Напомним, что начальное выражение (10) такого разложения переменных на множители не допускает. А во-вторых, и это самое важное, формула (19) симметрична относительно Сmin и Сmax, хотя в ее определении присутствует несимметричная величина . Покажем это, используя определение (13) и учитывая, что (сg)min обозначается Сmin. Тогда, если не рассматривать температурную часть, которая никакого отношения к Сmin и Сmax не имеет, получим:
(1 + n-1) /2 = (1 + Сmin/Сmax)/2 = 1/2 (1 + Сmin/Сmax)·W/(СminT) = 1/2 (Сmin-1 + Сmax-1)·W/T (20)
Наряду с этим (19) имеет и недостаток — это всего лишь приблизительное равенство. Насколько точно (19) приближает точное значение S/Е (10) для умеренных значений температур? Пусть при теплообмене взаимодействуют среды с начальными температурами 5°С и 95°С, что ограничивает «бытовые» значения, тогда T = 90К, Т = 278К и отношение T/Т 0,324. В пункте 1 уже были представлены точные зависимости S/Е() для двух частных случаев: n = 10 и T/Т 0,167 и для n = 3 и T/Т 0,667. Заметим, что во втором случае интервал температур превосходит умеренные «бытовые» значения. На графике 7 продублируем график 3, а на графике 8 — график 4, но наряду с точным расчетом S/Е представим и приблизительное выражение этой величины по формуле (19).
Из представленных графиков следует, что (19) удовлетворительно приближает S/Е(). Следовательно, входящий в это выражение симметричный относительно Сmin и Сmax аргумент, который не зависит от Т и T может быть использован как характеристика термодинамической эффективности по крайней мере до T/Т <= 0,6. Введем этот новый коэффициент S, который можно назвать коэффициентом термодинамической (энтропийной) эффективности или симметричным коэффициентом эффективности теплообмена:
S = (1 + n-1) /2 = 1/2 W(Сmin-1 + Сmax-1)/ T (21)
Выражение (19) есть не что иное как (17), в которое вместо подставлено S. Получив имеющее ясный физический смысл выражение S, можно ожидать, что его зависимость от величин расходов будет лишена тех недочетов, которые были перечислены в пунктах 3 и 4.
Это действительно так. Представим аналоги графиков 5 и 6, на которых в тех же переменных будет показана зависимость не для , а для S.
Из графика 9 видно, что и при произвольном увеличении любого из расходов S может только уменьшаться. График 10 демонстрирует отсутствие точек излома и инверсного поведения кривых при уменьшении C1. График 10 также демонстрирует, что S не стремится к 1 как при уменьшении одного из расходов до 0. Из определения S также следует, что S при Сmin = Сmax.
Выводы
В этой части статьи были рассмотрены парадоксы теории теплообмена. Было показано, что некоторые из них (например, парадокс качества теплообмена для произвольных n и ) можно объяснить с позиции физики явлений теплопередачи. Другие же не относятся к физике явления теплопередачи, а являются следствием определения коэффициента эффективности . Они могут быть устранены введением скорректированного коэффициента. В статье был предложен вид (21) этого коэффициента S, что исправило указанные шероховатости теории теплообмена. Автор ни в коей мере не пытается подвергнуть критике классическую теорию теплообмена, предложенною В. М. Кейсом и А. Л. Лондоном [3] в 1950х годах. Они проделали огромную работу, фактически построив на пустом месте теорию (-NTU), которая позволила провести множество расчетов, впервые сделать точные оценки для некоторых частных случаев и успешно используется до сих пор. И, конечно, автор отдает себе отчет, что не имело бы смысла искать симметричный коэффициент только ради симметрии и упорядочивания уже известных результатов, если бы метод расчета на основе S не привел бы и к новым соотношениям. В последующих публикациях автор ознакомит читателей как с помощью S возможно проводить простые точные оценки характеристик теплообмена. Будет представлено сравнение практических расчетов, используя как уже существующие методы, так и новый S-метод.
Литература
1. Пухов А. В. Мощность тепловой завесы при произвольных расходах теплоносителя и воздуха. Интерпретация опытных данных // Мир Климата. 2013. № 80. С. 110.
2. Пухов А. В. Мощность тепловой завесы при произвольных расходах теплоносителя и воздуха. Инварианты процесса теплопередачи // Мир Климата. 2014. № 83. С. 202.
3. Кейс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. М.: Энергия, 1967. С. 23.
4. Уонг Х. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров. М.: Атомиздат, 1979. С. 138.
5. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. // Успехи физических наук. 1994. Т. 164. № 5. С. 453.
